Ejercicio 4

Alumno:

• Elmer Alvinco

Ejercicios 2

                                          

  PROBLEMA

Un tanque contiene 200 litros de agua donde se han disuelto 30 gramos de sal (NaCl). Entra al tanque un caudal de 4 litros por minuto de solución con 1 gramo de sal de sal por litro.

Calcular la cantidad A (t) de sal en el tanque en cualquier instante t.

Solución:

En el siguiente problema propuesto tenemos que un tanque de 200 litros de agua se van a disolver 30 gramos de NaCl, también tenemos una entrada de caudal de 4 litros sobre minuto, en la salida por igual tenemos 4 litros sobre minuto, por lo cual podemos determinar que el volumen es constante.

Para llevar a cabo la solución de nuestro ejercicio tenemos la formula siguiente:

•        (A) va ser la cantidad de sal que requerimos, entonces la cantidad de sal respecto al tiempo es igual a la entrada menos la salida, para ello vamos a tener que: 

•  En este caso desconocemos la cantidad de sal que sale por lo cual para identificar ese dato lo vamos a tomar como (A), esto va ser al igual:

•         200 es la salida, y de acuerdo a la formula obtendríamos que:

• Simplificando quedaría:   
  
         esto lo podemos tomar como nuestro modelo matemático, obteniendo nuestro modelo matemático podemos llevar a cabo la transformada de Laplace, pero para la transformada de Laplace debemos tomar en cuenta la condición inicial, en este caso el problema nos da una condición inicial de 30 gramos de sal, para iniciar el desarrollo debemos sacar la primera derivada.

APLICANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE:

Una vez de haber obtenido nuestra primera derivada tenemos que:

 FRACCIONES PARCIALES DE A Y B:

     Aquí realizamos una multiplicación cruzada donde obtenemos los siguientes resultados:

  Aquí agrupamos los términos si que contengan S y como queremos obtener el valor de A despejamos y nos queda

A(s) + B(s) = 30(s)

A(s) = 30(s) – B

A(s) = 30(s) – 200

A(s) = -170

Luego tomamos la primera fórmula de fracciones parciales que tenemos y sustituimos sus valores de A y B y nos queda lo siguiente

APLICANDO LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Aquí se aplica para cada uno de los términos que sería el siguiente:

     ALUMNOS  :

• HERNANDEZ ZAVALETA JANET
• ALCANTARA MENDEZ LUIS
• LEZAMA ORE CRISTIAN
• BARDALES CANALES JULIA     

Ecuación del Calor 2

ALUMNOS  :

• HERNANDEZ ZAVALETA JANET
• ALCANTARA MENDEZ LUIS
• LEZAMA ORE CRISTIAN
• BARDALES CANALES JULIA  

Ecuación del Calor 1

Serie de Fourier

1.  REALIDAD PROBLEMÁTICA

En una operación minera subterránea, cuando se quiere profundizar en vertical  y no se tiene socavones principales; se requiere extraer mineral, desmonte e introducir materiales o el mismo personal, se recurre a la utilización de infraestructura en maquinarias de izaje.

Con la finalidad de evitar el sobresfuerzo humano, reduciendo los costos de productividad y aumentando la velocidad de extracción.

En este caso mencionaremos  un equipo de izaje (winche eléctrico) por lo cual al estar sometido a esfuerzo de  fricción, entre el motor y la caja de transmisión, presenta desgastes en las partes mecánicas (eje de transmisión).

Una de las soluciones conlleva a realizar el tratamiento térmico del eje, para mejorar sus propiedades mecánicas y por ende prolongar su tiempo de vida útil.

2.  PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Para mejorar  las propiedades mecánicas del eje de transmisión se debe someter a un tratamiento  térmico, para esto es necesario monitorear la temperatura  a la cual el cuerpo modificara sus propiedades en un tiempo determinado.

¿Es posible determinar mediante un modelo matemático, la temperatura del eje en un tiempo determinado utilizando las series de Fourier?

3.  HIPOTESIS

Es posible determinar la temperatura del eje  en un tiempo determinado mediante un modelo matemático y utilizando  la serie de Fourier.

4.  OBJETIVOS

4.1.    Objetivo general

Determinar el  tiempo al cual será sometido el eje de transmisión a una temperatura establecida.

4.2.    Objetivo especifico

Reemplazar los datos del problema en la ecuación  de calor
Definir la Ecuación Diferencial Ordinaria que representa la razón de cambio de la temperatura. Solucionar la Ecuación Diferencial Ordinaria aplicando la serie de Fourier.

5.  MARCO TEORICO

5.1.     Tratamiento térmico del acero

El cambio modificación de las propiedades de un material, por calentamiento y enfriamiento controlado se denomina tratamiento térmico y es un término genérico que incluye los procesos de reblandecimiento, endurecimiento y tratamiento de superficies.

El tratamiento térmico incluye calentar y enfriar la pieza de trabajo para alterar su estructura, para evitar  y/o minimizar los efectos indeseables de la configuración de la pieza de trabajo, en el acabado de la superficie las tolerancias dimensionales, la preparación del trabajo y el tipo de pieza antes del tratamiento son factores que deben considerarse.

1.1.    Serie de Fourier

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos.

Las series de Fourier tienen la forma:

Donde {\displaystyle a_{n}\,\!}a_n y {\displaystyle b_{n}\,\!}b_n se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función {\displaystyle f(t)\,\!}f(t)

2.  DESARROLLO DEL TRABAJO

Se calienta un eje de trasmisión de acero 

 de longitud L= 60 cm y de diámetro de 2”, a una temperatura uniforme de 700°C. En el instante t=0 se coloca a los extremos baños de hielo a 0°C, con lo que  se mantiene la temperatura a dicho nivel. No se permite la disipación de calor a través de la superficie lateral del eje. Determinar la temperatura para cualquier punto del eje y para todo tiempo futuro t, conociendo que el modelo matemático de este problema viene dado por:

Leyenda:

u=Temperatura  en el tiempo t y posición x

t= temperatura

x= posición

α²= constante de difusividad del acero

Condiciones de frontera:

  u (0, t) = u (60, t) = 0, t>0

  u (x, 0) = 700 XE [0, 60]

Realizando método de separación de variables:

u (x, t) = X(x)T(t) …. (1) ecuación solución propuesta

Debido a que la temperatura estándar a la que debe llegar el acero para que se realice el tratamiento térmico es 950°C, se requiere saber el tiempo de exposición al calor necesario para llegar a esa temperatura en el punto 30 cm

Integrantes:

·       Alvinco Yparraguirre Elmer

·       Casanova Gamboa David

·       Orbegoso Martinez Henry

·       Ordoñez Abanto César

·       Vásquez Vera Daniel